Fundamentos de la lógica difusa (Foundations of fuzzy logic)  Situaciones de incertidumbre, ambigüedades, aproximaciones, percepciones y sensaciones (feelings), son habituales en el mundo real y vida cotidiana. Estas situaciones, no necesariamente afectan negativamente la calidad de vida de las personas, por el contrario, en ocasiones simplifican las cosas. Supongamos, por ejemplo, que alguien compra 6 panes. El vendedor entregará en forma “exacta” 6 panes, pero si compra ½ kilo, resulta extremadamente difícil que le entreguen exactamente 500 gramos. Se puede intentar aproximar a la cantidad exacta fraccionando el pan, pero aún existirá la imprecisión propia de la balanza. Lo usual es que el comprador acepte una cantidad aproximada y, obviamente, el pago que efectue estará de acuerdo a lo recibido.
Los matemáticos han conocido desde siempre el concepto de ambigüedad, pero sólo en la década del 60 del siglo recién pasado se formalizó matemáticamente este concepto, bajo el nombre de Fuzzy Sets (conjuntos difusos). The word “fuzzy” (la palabra “difuso”) La palabra “fuzzy”, en la teoría de conjuntos difusos, se usa para describir términos, frases o sentencias que no son suficientemente claras, no son bien conocidas, o su especificación está sujeta a la estimación, subjetividad o intuición de la persona que hace la descripción. Ejemplo: varios, más o menos, muy posible, está muy frío, parcialmente nublado… Note que la ambigüedad debe entenderse como un rango de tolerancia entre ciertos valores posibles, y no como caos o desorden impredecible. Definition: Fuzzy (definición de Fuzzy) El término Fuzzy significa impreciso, vago, poco claro. Cuando se aplica a la teoría de conjuntos Fuzzy, se refiere a elementos pertenecientes a las fronteras (difusas) de los conjuntos. Crisp set (conjunto clásico o bien definido) En la teoría clásica de conjuntos, no hay elementos pertenecientes a la frontera de los conjuntos. Las fronteras son abruptas y bien definidas. Un conjunto clásico es una colección de elementos con una característica bien definida, de modo que no hay duda sin un elemento pertenece o no al conjunto. Ejemplo: el conjunto de los enteros positivos mayores o iguales a 5. En este conjunto, el número 5 pertenece al conjunto y el número 4 no pertenece. Para que un conjunto (Crisp o Fuzzy) tenga sentido matemático, debe tener una notación o representación matemática que lo identifique, y también debe existir otro conjunto que lo contenga. El conjunto que lo contiene se denomina conjunto Universo. Si asignamos la letra B a un conjunto, en el conjunto B deben nombrarse todos los elementos del conjunto Universo que pertenecen a B. Para el ejemplo anterior se tiene: U =  = números naturales o enteros positivos (conjunto Universo). B = enteros positivos mayores o iguales a 5. La notación matemática puede ser por extensión (list method): B = {5, 6, 7, 8…} La notación por lista se usa para conjuntos con número finito de elementos. La notación también puede ser por comprensión o característica (rule method): 
Se lee: B es el conjunto de los números x pertenecientes a los naturales, tales que x es mayor o igual a 5.  Boolean logic (lógica binaria o de Boole)
La lógica clásica tradicional o binaria se caracteriza por tener solo dos estados discretos posibles: verdadero (True) y falso (False). Alternativamente, los estados binarios se anotan como Si y No o también como 1 y 0. La lógica booleana emplea una estructura matemática conocida como “algebra de Boole” para realizar operaciones matemáticas en el sistema binario (0,1), usando 3 operadores fundamentales: AND (y), OR (o) y NOT (no).
Boolean logic and Crisp set (lógica binaria y conjunto clásico) Hay una relación directa entre la lógica binaria con sus dos estados 1 y 0, y un conjunto clásico con su característica de pertenencia o no pertenencia. Esta característica permite transformar un conjunto clásico en otro conjunto que contenga solo los elementos 1 y 0, tal que 1 = pertenencia, 0 = no pertenencia. En otras palabras, cualquier conjunto se puede llevar (mapping) a un conjunto del sistema binario. Ejemplo: El conjunto graficado en la figura 1, se anota como:  Fuzzy set (conjunto difuso) Los conjuntos Fuzzy son una extensión de los conjuntos tradicionales, con una formulación matemática adicional que relaje la exclusión o discriminación de la teoría de conjuntos clásicos, para incluir elementos de frontera. Los conjuntos Fuzzy deben, entonces, contener todos los elementos del conjunto Universo que pertenecen a él “por derecho propio” (como si fueran un conjunto Crisp), más otros elementos del conjunto Universo que “pueden o no pueden” incluirse en el conjunto especificado. El lenguaje matemático es preciso, por lo tanto debe existir una estructura matemática que formule expresiones imprecisas tales como “pueden o no pueden”. Esta estructura se conoce como membership function. La expresión coloquial “por derecho propio” corresponde a la función característica del conjunto. Membership function (función pertenencia) Esta función transforma la expresión ambigua “pueden o no pueden” en la expresión precisa “pertenecen con diferente grado de pertenencia”. El grado de pertenencia (membership degree) tiene un rango entre 0 y 1. Tiene valor 0 para los elementos que no pertenecen al conjunto, valor 1 para los elementos del conjunto bien definidos por la función característica y valores intermedios para los elementos de frontera. La función pertenencia que determina el grado de pertenencia de los elementos de frontera es completamente arbitraria y depende exclusivamente de la persona que la genere. La función será útil si es generada por un experto en el contenido del conjunto. Ejemplo: Sea B un conjunto de niños autorizados para tomar clases de natación, tales que su edad sea aproximadamente 5 años o mayor. En la figura 2 se muestra el gráfico del conjunto para distintas funciones pertenencia. 
 La función pertenencia de la curva azul es tal que hace al conjunto Fuzzy similar a un conjunto Crisp, asignando grado de pertenencia 0 a los menores de 5 años y grado de pertenencia 1 para los que cumplieron 5 años.
En este caso, los encargados del curso optaron por ceñirse a un reglamento estricto, sin ambigüedades. En la curva verde, los encargados del curso, de acuerdo con los padres de los niños, consideraron otros factores (estatura, peso, etc.) para flexibilizar la edad de ingreso al curso, asignando grado de pertenencia 0 a los menores de 3 años y grado de pertenencia 1 a los mayores de 7 años. En las curvas roja y celeste, se estimó que todos los mayores de 5 años pueden ingresar al curso sin restricción, y los mayores de 3 años que superen ciertas exigencias. La curva celeste (exponencial) es más restrictiva para los niños de menor edad. Para las curvas roja y celeste, el grado de pertenencia es 0 para los menores de 3 años y grado de pertenencia 1 para los mayores de 5 años. En la figura 2 se grafica exclusivamente la edad de los alumnos. La mención a otras reglas (exigencias) es para enfatizar el hecho que, si bien la elección de la función pertenencia es arbitraria, dicha función está basada en el conocimiento y razonamiento de un experto. Cálculo del grado de pertenencia El grado de pertenencia (membresía) de un elemento en un conjunto depende de la definición de la función pertenencia y se anota con la letra griega µ. Para la curva roja de la figura 2, la membresía de la edad se obtiene: 
Para el cálculo de membresía de las curvas celeste y verde, el procedimiento es similar. El cálculo, obviamente, dependerá de la función que represente la membresía. La membresía total se obtiene realizando operaciones normales (unión, intersección, negación) de conjuntos Fuzzy, sobre las membresías individuales. Las operaciones en conjuntos Fuzzy se derivan directamente de las operaciones en conjuntos tradicionales. Sin embargo, las operaciones coincidirán solo cuando los grados de membresía sean 0 y 1. Para otros grados de pertenencia se aplican otros criterios, por ejemplo, para la unión se toma el operador máximo (maximum operator) y para la intersección el operador mínimo (minimum operator) Diferencia entre conjuntos Crisp y Fuzzy Los conjuntos Crisp son mutuamente excluyentes, de modo que los elementos de un conjunto no pueden pertenecer a otro conjunto. Tienen una sola regla característica y la transición de un conjunto a otro es abrupta.  En los conjuntos Fuzzy, los elementos pueden pertenecer a más de un conjunto, con distinto grado de pertenencia. Tienen varias reglas y la transición de un conjunto a otro es suave y gradual.
En la siguiente entrega de nuestra serie analizaremos los sistemas de control Fuzzy (Fuzzy Control System). | 
